100 éves a Brun tétel!

2018. december 31. - nb

Mit kérdezne Erdős Jézustól*

Brun tétele azt mondja, hogy az ikerprímek reciprok összegéből alkotott sor konvergens, magyarul: az emberiség tudása ahhoz ugyan ma még kevés, hogy választ tudjon adni, hogy végtelen sok, vagy csak véges sok ikerprím van-e (de még az is benne van a pakliban, hogy ez a kérdés eldönthetetlen... ,mint Erdős Jézusi kérdésének tárgya) viszont Brun tétele nyomán tudjuk, hogy ha egy egész tortát elosztunk 3 felé, majd az egész tortát 5 felé, majd megint az egészet 5 felé és ennek párja, a 7 felé, majd 11 és 13 felé, majd 17 és 19 felé és így tovább és ezeket a felosztogatott tortaszeleteket összeadogatjuk, akkor az összeg nem nő minden határon túl, hanem egy konkrét számhoz, a Brun konstanshoz tart.

Ezzel a példával kezdjük meg a Bátf41 Haxor Stream|Programozás R nyelv tanuló szemináriumát, íme:

stp <- function(x){

    primes = primes(x)
    diff = primes[2:length(primes)]-primes[1:length(primes)-1]
    idx = which(diff==2)
    t1primes = primes[idx]
    t2primes = primes[idx]+2
    rt1plust2 = 1/t1primes+1/t2primes
    return(sum(rt1plust2))
}

x=seq(10, 1000000, by=10000)
y=sapply(x, FUN = stp)
plot(x,y,type="b")

indulás Linux alól:

ugyanez Windows-on:

Folytatjuk!

Feladat

Attól függően, hogy milyen (Linux vagy Windows) rendszeretek van, ismételjétek meg a fenti streamet a saját gépeteken!

JÖN: STREAM LINK

TeX

Irjuk le a Brun tételt, avagy ismerjük meg a matamatikai írott nyelvet a TeX-et! Tegyük ezt a szöveges nandi.tex nevű fájlba:

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\title{100 \'eves a Brun t\'etel}
\date{\today}
\author{N\'andi B\'atfai}

\begin{document}

\maketitle

$B_2$ a Brun konstans.

\begin{align*}
  B_2 &= \sum_{p, p+2\in P} \left( \frac{1}{p}+\frac{1}{p+2} \right) =\\
   &= \frac{1}{3}+\frac{1}{5} + \frac{1}{5}+\frac{1}{7} + \frac{1}{11}+\frac{1}{13}
\dots < \infty
\end{align*}

 
\end{document}